对矩阵的一些概念做备忘。
简介
- 方阵
- 对角矩阵
- 对称矩阵
- 转置矩阵
- 逆矩阵
- 正定矩阵
方阵
方阵就是行数与列数一样多的矩阵。n×n阶矩阵被称为n阶方阵。
如下：
$$\begin {Bmatrix}a&0&0&0\\0&b&0&0\\0&0&c&0\\0&0&0&d\end{Bmatrix}$$
4阶方阵。
对角矩阵
对角矩阵式除主对角线之外的元素皆为 0 的方阵，对角线上的元素可以为 0 或其他值。
常写为$diag(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)$
如下：
$$\begin {Bmatrix}a&0&0&0\\0&b&0&0\\0&0&c&0\\0&0&0&d\end{Bmatrix}$$
a,b,c,d 可以为任意数字
- 主对角线全为0的对角矩阵常称为零矩阵；
- a=b=c=d的对角矩阵常称为标量矩阵；
- a=b=c=d=1的对角矩阵常称为单位矩阵；
对称矩阵
元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。
如下：
$$\begin {Bmatrix}1&0&8&1\\0&2&5&7\\8&5&3&9\\1&7&9&4\end{Bmatrix}$$
$m{ij}=m{ji}$
转置矩阵
把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作$A^T$或$A’$。
$$A=\begin {Bmatrix}1&0&8\\0&2&5\end{Bmatrix}$$
$$B=\begin {Bmatrix}1&0\\2&0\\8&5\end{Bmatrix}$$
B 是 A 的转置矩阵。
- (A±B)’=A’±B’
- (A×B)’= B’×A’
- (A’)’=A
- (λA’)’=λA
- det(A’)=det(A)，即转置矩阵的行列式不变
逆矩阵
给定一个 n 阶方阵A，若存在一n 阶方阵B， 使得$AB=BA=I_n$（或AB=In、BA=In 任满足一个），其中$I_n$ 为n 阶单位矩阵，则称A 是可逆的，且B 是A 的逆阵，记作 $A^{-1}$。
若方阵A 的逆阵存在，则称A 为 非奇异方阵 或 可逆方阵 或满秩矩阵。
给定一个 n 阶方阵 A，则下面的叙述都是等价的：
A 是可逆的。
A 的行列式不为零。
A 的秩等于 n（A 满秩）。
A 的转置矩阵 A也是可逆的。
AA 也是可逆的。
存在一 n 阶方阵 B 使得 AB = In。
存在一 n 阶方阵 B 使得 BA = In。
如果矩阵$A$可逆，则$A^{-1}=\frac {A^*} {|A|}$ , 其中$A^*$是的伴随矩阵。
伴随矩阵$A^*$元素的排列特点是的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。
代数余子式定义：在一个n阶行列式A中,把(i,j)元 $a_{ij}$ 所在的第i行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$;即
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，$A_{ij}$叫做(i,j)元$a_{ij}$的代数余子式。
A是可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0（方阵A的行列式不等于0）。（当︱A︱= 0时，A称为 奇异矩阵 ）
可逆矩阵一定是方阵。
如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。
两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
正定矩阵
正交矩阵,即满足A乘以A的转置等于单位阵E；
- 方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位正交向量组（它们的内积等于零）；
- 方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基；
- A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
- A的列向量组也是正交单位向量组。
- 正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
对称阵A正定的等价条件
1、对应的二次型正定
2、所有主子式大于0
3、所有顺序主子式大于
4、所有特征根大于0
正定的一个必要条件 ：所有对角线上的元素全大于0（用于判定不正定时常用）